Зарабатывай от 1500 руб в день! В любое время и месте!

Начать зарабатывать

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

#хакнем_математика рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и ...

"Мона Лиза" Леонардо да Винчи в золотом сечении. Источник фото: golden-ratio.club

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

С «золотым сечением» мы уже сталкивались в статье о числах Фибоначчи. В сегодняшней статье я хотела бы уделить внимание этому понятию и понятию «серебряное сечение» с математической точки зрения.

Пропорция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей» — это равенство отношений двух (и более) пар чисел a, b и c, d, т.е. равенство вида:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Золотое сечение (золотая пропорция) — соотношение 2 –х величин a и b, при котором бОльшая вечичина относится к меньшей так же как сумма величин к бОльшей, и выражается алгебраической формулой (1):

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

В древнегреческой математике изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на 2 части, так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Из равенства (1), представляя а независимой переменной, можно получить квадратное уравнение, которое описывает свойства золотого сечения:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Решая это уравнение, получим корни:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

называется золотым числом. Для практических целей используют приближённое значение Φ = 1,618…

Красивое представление числа Φ выглядит в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

и в виде бесконечной цепной дроби:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении.

Золотое сечение в пятиконечной звезде

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Некоторые авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке.

На это число обратили внимание художники, скульпторы, архитекторы — его назвали божественной пропорцией и стали использовать в произведениях искусства, чтобы добиться идеальной композиции, наилучшего сочетания всех элементов произведения.

С тех пор золотое сечение находят в пропорциях гениальных произведений: пирамидах в Гизе и афинском Парфеноне, «Сотворении Адама» и сводах Сикстинской капеллы, созданных Микеланджело, «Мона Лиза» да Винчи.

Парфенон иллюстрирует золотое сечение своими пропорциями

СЕРЕБРЯНОЕ СЕЧЕНИЕ

Оказывается, существуют ещё и серебряное сечение, и бронзовое сечение, и прочие безымянные «металлические сечения».

Общее уравнение «металлических сечений»:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Если р = 1, то это как раз золотое сечение (см. выше);

Если р = 2, то уравнение выглядит, как

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

это уравнение имеет один положительный корень:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

это и есть серебряное число (если р = 3, то можно получить бронзовое число и т.д.).

Серебряное число — иррациональное число, равное

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

или приблизительно 2,414213562.

В отличие от золотого сечения, серебряное сечение не имеет единого определения и общепринятого обозначения.

Считается, две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей то же самое, что и отношение большей величины к меньшей.

Алгебраически оно записывается так:

Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Математики исследовали серебряное отношение со времён древнегреческой науки, хотя такое название, возможно, появилось только недавно.

Однако доказано, что металлические сечения — красивая математическая абстракция, неприменимая на практике. Многие значения металлических сечений вписываются в окрестности сечения золотого.

Всё-таки, как удивителен и красив мир чисел!

#хакнем_математика ( подпишись на этот хэштег, чтобы получать новый интересный и познавательный контент по математике

Автор: #ирина_чудневцева координатор канала Хакнем Школа, 42 года, город Ярославль, мама 16-летнего подростка.

Другие статьи автора в канале:

* Удивительные факты о числе Пи, о которых, возможно, вы не знали
* Математика — не скучная наука. Интересные математические факты, о которых вы не знали
* Мудрая притча, которая напомнит о самом важном



Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?

Контент создан при поддержке медиагруппы «Хакнем».