Математик доказал невозможность торa из бумаги с семью вершинами и представил модель с восемью
Американский математик Ричард Шварц определил минимальное количество вершин для создания оригами-тора из одного листа бумаги. Он доказал, что собрать такой тор с семью вершинами невозможно, а затем с помощью компьютерного алгоритма нашёл рабочую конструкцию из восьми вершин. Итоги исследования опубликованы в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences, сообщает N+1.
Превратить плоский лист бумаги в тор без растяжения или сжатия невозможно, поскольку при соединении концов бумага мнётся или рвётся. Чтобы обойти это ограничение, математики вместо гладкой поверхности моделируют тор как многогранник из жестких треугольников. Вокруг каждой вершины сумма углов треугольников должна ровно равняться 360 градусам, чтобы развёртка оставалась плоской и не деформировалась при сгибании.
Долгое время учёные искали минимальную развертку тора с наименьшим числом вершин и сгибов. Раньше требовались модели с тысячами маленьких граней. Позже количество удалось снизить до 10 вершин, а в 2025 году Винсент Тугайе предложил конструкцию из девяти вершин. При этом теоретическим минимумом считались семь вершин, так как с меньшим числом точек невозможно триангулировать поверхность тора.
Ричард Шварц из Брауновского университета разрешил этот вопрос окончательно. Он доказал, что тор с семью вершинами построить нельзя, и разработал цифровую модель с восемью вершинами, рассчитав точные координаты этих точек в пространстве.
Изучая вариант с семью вершинами, Шварц обнаружил, что попытка соединить все вершины без исключений приводит к тому, что одна точка оказывается внутри объёма, образованного остальными. Он проанализировал локальное поведение бумаги вокруг этой точки, используя формулу Крофтона. Выяснилось, что линии сгиба не могут равномерно окружить точку, а смещаются в одну сторону, что неприемлемо для объёмной фигуры. Другой возможный способ — расположить все вершины снаружи — также приводит к взаимному врезанию граней.
Дальнейший поиск решения продолжился с помощью алгоритмического метода. Программа постепенно перемещала точки, контролируя, чтобы сумма углов вокруг вершин была близка к 360 градусам, а форма сохраняла объём без сплющивания. Также удалялись слишком узкие треугольники для улучшения модели.
В итоге была получена конструкция из восьми вершин и 16 треугольных граней с зеркальной симметрией. Модель напоминает вытянутую палатку: две вершины расположены высоко, остальные шесть почти у основания. Складки бумаги проходят внутрь конструкции, образуя узкое сквозное отверстие, которое представляет собой центральное кольцо тора — одна из ключевых особенностей фигуры.
Разработка Шварца подкрепляет связь между топологией, геометрией и инженерией в рамках науки об оригами. Такие исследования помогают создавать алгоритмы для точного моделирования и упрощения изготовления сложных форм с минимальным количеством сгибов.
Математик доказал невозможность торa из бумаги с семью вершинами и представил модель с восемью • Опубликовано на FiNE NEWS
Вагоны поезда "Тамбов-Москва" оформили в едином стиле с достопримечательностями региона 
Фура в Турции спровоцировала многокилометровую пробку перед рейсом 
Правила отдыха с ребёнком: эксперт — о том, как подготовиться к путешествию с младенцем 
Шри-Ланка планирует возобновить авиасообщение с Россией в октябре 
На туриста упал балкон, когда он плавал в бассейне отеля 
Level Group: 52% россиян проводят минимум один выходной в месяц в постели 
Забудьте о дешевом Таиланде: туристов ждут новые расходы 
